Вопрос школьника
Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника ABC пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) уголA = уголB + уголC.
Ответ от учителя
а) Для доказательства того, что точка D является серединой стороны ВС, нужно показать, что она равноудалена от точек В и С. Пусть M и N — середины сторон АВ и АС соответственно. Тогда, так как M и N лежат на серединных перпендикулярах к сторонам АВ и АС, то они равноудалены от точек В и С. Значит, MD = MB и ND = NC. Также из треугольника ABC следует, что MB = NC. Следовательно, MD = ND, то есть точка D лежит на середине стороны ВС.
б) Рассмотрим треугольник ABD. Так как MD — серединный перпендикуляр к стороне АВ, то угол AMD прямой. Аналогично, угол AND прямой. Значит, точка D лежит на окружности, описанной около треугольника AMN. Так как M и N — середины сторон АВ и АС, то AM = AN. Значит, угол MAN равен углу MNA. Также угол BAC равен углу MAN + углу MNA. Следовательно, угол BAC = 2 угла MAN.
Рассмотрим теперь треугольник BCD. Так как ND — серединный перпендикуляр к стороне АС, то угол NDC прямой. Аналогично, угол MDB прямой. Значит, точка D лежит на окружности, описанной около треугольника MBC. Так как MB = NC, то угол MBC равен углу NCB. Следовательно, угол BAC = угол MBC + угол NCB.
Сложим полученные равенства: угол BAC = 2 угла MAN = угол MBC + угол NCB. Заметим, что угол MAN равен половине угла A, а углы MBC и NCB равны углам B и C соответственно. Таким образом, получаем уравнение: угол A = угол B + угол C. Что и требовалось доказать.
