Вопрос школьника
Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника ABC пересекаются в точке О, которая лежит на стороне ВС. Докажите, что угол BAC = угол ABC + угол ACB.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка О является центром описанной окружности треугольника ABC. Это следует из того, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности.
Также заметим, что угол BOC является вписанным углом, так как его стороны являются хордами описанной окружности. Тогда по теореме об углах, опирающихся на одну и ту же дугу, имеем:
∠BOC = 180° — ∠BAC
Теперь рассмотрим треугольники ABO и ACO. Они являются равнобедренными, так как AB = AO и AC = AO (серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Тогда у них равны основания и углы при вершине, то есть:
∠BAO = ∠CAO
Теперь можно записать:
∠BAC = ∠BAO + ∠CAO = 2∠BAO
Но ∠BOC = 2∠BAO (угол, опирающийся на дугу BC, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу). Тогда:
∠BAC = ∠BOC
А по условию задачи:
∠BOC = ∠ABC + ∠ACB
Следовательно,
∠BAC = ∠ABC + ∠ACB
что и требовалось доказать.
