Вопрос школьника
Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника образует с его большей стороной угол 60°. Отрезок этой прямой, принадлежащий прямоугольнику, равен 12 см. Найдите большую сторону прямоугольника.
Ответ от учителя
Пусть $ABCD$ — прямоугольник, где $AB$ — большая сторона, $AC$ — диагональ, $O$ — точка пересечения серединного перпендикуляра $OM$ с диагональю $AC$.
Так как $OM$ — серединный перпендикуляр $AC$, то $OM = frac{AC}{2}$.
Также, так как $OM$ образует с большей стороной угол $60^circ$, то $angle AOM = 30^circ$.
Поэтому, в прямоугольном треугольнике $AOM$:
$$tan 30^circ = frac{OM}{AM}$$
$$frac{1}{sqrt{3}} = frac{AC}{2AM}$$
$$AC = frac{2AM}{sqrt{3}}$$
Также, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABM$:
$$AM^2 = AB^2 + BM^2$$
$$AM^2 = AB^2 + left(frac{AC}{2}right)^2$$
$$AM^2 = AB^2 + frac{AC^2}{4}$$
Из условия задачи известно, что $BM = 6$ см, так как $OM$ — серединный перпендикуляр, а $OM = BM = 6$ см.
Подставляя выражение для $AC$ в уравнение для $AM^2$, получаем:
$$AM^2 = AB^2 + frac{4AM^2}{3}$$
$$frac{2AM^2}{3} = AB^2$$
$$AB = sqrt{frac{2}{3}}AM$$
Также, из условия задачи известно, что $OM = frac{AC}{2} = frac{AM}{sqrt{3}} = 6$ см.
Подставляя это выражение для $OM$ в уравнение для $AC$, получаем:
$$AC = 2OMsqrt{3} = 12sqrt{3}$$
Теперь, подставляя выражение для $AC$ в уравнение для $AB$, получаем:
$$AB = sqrt{frac{2}{3}}AM = sqrt{frac{2}{3}}cdotfrac{sqrt{3}}{2}AC = sqrt{frac{2}{3}}cdotfrac{sqrt{3}}{2}cdot 12sqrt{3} = 12sqrt{2}$$
Ответ: большая сторона прямоугольника равна $12sqrt{2}$ см.
