Вопрос школьника
Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит сторону прямоугольника в отношении 2 : 1. Найдите углы, которые диагональ прямоугольника образует с его сторонами.
Ответ от учителя
Пусть прямоугольник имеет стороны a и b, а диагональ имеет длину d. Тогда серединный перпендикуляр к диагонали делит ее на две равные части, каждая из которых равна d/2. По условию, этот перпендикуляр также делит одну из сторон прямоугольника в отношении 2:1. Пусть это будет сторона a, тогда мы можем записать:
a/3 = d/2
Отсюда получаем:
d = 2a/3
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины второй стороны b:
d^2 = a^2 + b^2
(2a/3)^2 = a^2 + b^2
4a^2/9 = a^2 + b^2
b^2 = 5a^2/9
b = a*sqrt(5)/3
Таким образом, мы нашли длины сторон прямоугольника:
a и b = a*sqrt(5)/3
Теперь мы можем найти углы, которые диагональ образует с сторонами. Пусть α и β — углы между диагональю и сторонами a и b соответственно. Тогда мы можем использовать тангенс угла:
tan(α) = b/a = sqrt(5)/3
α = arctan(sqrt(5)/3)
Аналогично:
tan(β) = a/b = 3/sqrt(5)
β = arctan(3/sqrt(5))
Таким образом, мы нашли углы α и β, которые диагональ прямоугольника образует с его сторонами.
