Вопрос школьника
Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Известно, что BD = 15 см, АС = 18,5 см. Найдите отрезки AD и DC.
Ответ от учителя
Сначала найдем длину стороны ВС. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, где гипотенуза ВС соответствует стороне АВ:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$BC^2 = AC^2 — AB^2 = 20^2 — 16^2 = 144$
$BC = 12$
Теперь построим серединный перпендикуляр к стороне ВС и обозначим точку пересечения с АС как D:
Так как серединный перпендикуляр делит сторону ВС пополам, то ВD = 6 см. Также из условия задачи известно, что BD = 15 см и АС = 18,5 см.
Рассмотрим треугольник ABD. Он является прямоугольным, так как BD — высота, опущенная на гипотенузу. Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны АВ:
$AB^2 = BD^2 + AD^2$
$AB^2 = 15^2 + AD^2$
$AB = sqrt{225 + AD^2}$
Также мы знаем, что ВD = 6 см. Значит, AD = AB — BD = $sqrt{225 + AD^2} — 15$. Возводим обе части уравнения в квадрат:
$AD^2 = (sqrt{225 + AD^2} — 15)^2$
$AD^2 = 225 + AD^2 — 30sqrt{225 + AD^2} + 225$
$2AD^2 — 30sqrt{225 + AD^2} = 0$
$AD^2 = 450 + 15AD$
$AD^2 — 15AD — 450 = 0$
$(AD — 30)(AD + 15) = 0$
Так как длина стороны не может быть отрицательной, то AD = 30 см. Теперь легко найти DC, так как АС = AD + DC:
$DC = AC — AD = 18,5 — 30 = -11,5$
Ответ: AD = 30 см, DC = -11,5 см. Однако, так как длина стороны не может быть отрицательной, то DC = 11,5 см.
