Вопрос школьника
Середины отрезков AB и CD, BC и DE соединены отрезками; точки F и G — середины полученных отрезков. Докажите, что отрезки FG и AE либо параллельны, либо лежат на одной прямой, и FG = 1/4 AE.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что отрезки AB и CD, BC и DE имеют одинаковую длину, так как они соединяют соответствующие точки на одной прямой. Поэтому середины этих отрезков, то есть точки F и G, также имеют одинаковое расстояние от точек A и D, B и C, соответственно.
Рассмотрим треугольники AFG и AED. Они имеют общую сторону AE и равные стороны AF и AG (как серединные отрезки). Поэтому эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (угол A). Значит, у них равны и противолежащие углы FGA и EAD.
Таким образом, отрезки FG и AE лежат на одной прямой (по теореме об углах между параллельными прямыми), либо параллельны (если угол FGA равен нулю). В любом случае, FG и AE имеют общую точку A и лежат на одной прямой.
Осталось доказать, что FG = 1/4 AE. Рассмотрим треугольник AFG. Он равнобедренный, так как AF = AG. Поэтому высота из вершины F (то есть отрезок FG) делит основание AE на две равные части. Значит, FG = 1/2 AE.
Но мы знаем, что точки F и G являются серединами отрезков AB и CD, BC и DE, соответственно. Поэтому отрезки FG и BC, AE и DE также делятся пополам. Значит, FG = 1/2 BC и AE = 1/2 DE. Следовательно, FG = 1/4 AE = 1/4 DE = 1/4 BC.
Таким образом, мы доказали, что отрезки FG и AE либо параллельны, либо лежат на одной прямой, и FG = 1/4 AE.
