Вопрос школьника
Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 35, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Ответ от учителя
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, тогда по теореме Пифагора имеем:
$$a^2 + b^2 = 35^2 = 1225$$
Середины сторон прямоугольника делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Поэтому отрезки, соединяющие середины сторон, являются высотами этих треугольников. Площадь каждого треугольника равна:
$$S_{triangle} = frac{ab}{4}$$
Периметр четырехугольника равен сумме длин его сторон. Длина каждой стороны равна сумме длин двух отрезков, соединяющих середины сторон. Поэтому:
$$P = 2(a+b) = 4sqrt{left(frac{a}{2}right)^2 + left(frac{b}{2}right)^2}$$
Заменяем $b$ в уравнении $a^2 + b^2 = 1225$ на $frac{1225-a^2}{b}$ и подставляем в формулу для периметра:
$$P = 4sqrt{left(frac{a}{2}right)^2 + left(frac{1225-a^2}{4a}right)^2}$$
Находим производную и приравниваем ее к нулю, чтобы найти минимальное значение периметра:
$$frac{dP}{da} = frac{4a^3 — 1225a}{4a^2sqrt{left(frac{a}{2}right)^2 + left(frac{1225-a^2}{4a}right)^2}} = 0$$
Отсюда получаем два решения: $a = 0$ и $a = frac{35}{sqrt{2}}$. Очевидно, что $a neq 0$, поэтому остается только одно решение: $a = frac{35}{sqrt{2}}$. Тогда $b = frac{35}{sqrt{2}}$ и периметр равен:
$$P = 4sqrt{left(frac{35}{2sqrt{2}}right)^2 + left(frac{35}{2sqrt{2}}right)^2} = 4cdotfrac{35}{sqrt{2}} = boxed{140}$$
