Вопрос школьника
Сфера касается сторон треугольника, длины которых равны 5 см, 5 см и 8 см. Расстояние от центра сферы до вершины большего из углов треугольника равно 13 см. Вычислите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой описанной сферы треугольника, которая гласит: центр описанной сферы треугольника лежит на пересечении биссектрис углов треугольника и находится на равном расстоянии от трех вершин треугольника.
Так как длины сторон треугольника известны, то можно найти его площадь по формуле Герона:
$p = frac{a+b+c}{2} = frac{5+5+8}{2} = 9$
$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = sqrt{9cdot4cdot4cdot1} = 12$
Зная площадь треугольника, можно найти его радиус описанной окружности:
$R = frac{abc}{4S} = frac{5cdot5cdot8}{4cdot12} = frac{25}{3}$
Так как расстояние от центра сферы до вершины большего из углов треугольника равно 13 см, то можно составить уравнение сферы:
$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$
где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы.
Так как центр сферы лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то можно найти координаты точки пересечения биссектрис угла, противолежащего большей стороне треугольника. Обозначим эту точку как $O$.
Пусть $A$ и $B$ — вершины треугольника, соответствующие меньшим сторонам. Тогда точка $O$ лежит на прямой, проходящей через $A$ и $B$ и делит ее в отношении длин сторон треугольника. Пусть $D$ — точка пересечения биссектрисы угла $CAB$ с отрезком $AB$. Тогда точка $O$ лежит на отрезке $CD$ и делит его в отношении длин сторон треугольника:
$frac{CO}{OD} = frac{AC}{AB} = frac{5}{8}$
Так как длины сторон треугольника известны, то можно найти координаты точек $A$, $B$ и $C$. Пусть $C$ имеет координаты $(0,0,0)$, а $A$ и $B$ имеют координаты $(5,0,0)$ и $(0,3,0)$ соответственно. Тогда точка $D$ имеет координаты $(frac{5}{2}, frac{3}{2}, 0)$.
Так как точка $O$ лежит на отрезке $CD$, то ее координаты можно найти по формуле:
$O = D + frac{CO}{CD}cdot(D-C) = (frac{5}{2}, frac{3}{2}, frac{15}{8})$
Таким образом, мы нашли координаты центра описанной сферы треугольника. Подставляя их в уравнение сферы, получаем:
$(x-frac{5}{2})^2 + (y-frac{3}{2})^2 + (z-frac{15}{8})^2 = (frac{25}{3})^2$
Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно расстоянию от центра сферы до любой вершины треугольника, так как центр сферы находится на равном расстоянии от трех вершин треугольника. Пусть $E$ — вершина треугольника, противолежащая большей стороне. Тогда расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно расстоянию от точки $O$ до точки $E$:
$d = OE = sqrt{(x_E-x_O)^2 + (y_E-y_O)^2 + (z_E-z_O)^2}$
Пусть $E$ имеет координаты $(4,3,0)$. Тогда:
$d = sqrt{(frac{3}{2})^2 + (frac{3}{2})^2 + (frac{15}{8})^2} = frac{3sqrt{2}}{2}$
Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $frac{3sqrt{2}}{2}$ см.
