Вопрос школьника
Сформулируй задачу на кратное сравнение, в условии которой одно из данных является результатом разностного сравнения.
Подбери числовые данные так, чтобы у тебя была возможность вычислить ответ.
Реши эту задачу. Вычисли и запиши ответ.
Ответ от учителя
Задача на кратное сравнение с разностным сравнением может быть сформулирована следующим образом:
Найдите наименьшее целое число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 5 даёт остаток 4, и при вычитании из него числа, которое делится на 7 без остатка, получается число, которое делится на 9 без остатка.
Для решения этой задачи можно использовать метод китайской теоремы об остатках.
Пусть искомое число равно x. Тогда по условию задачи имеем систему сравнений:
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)
x — y ≡ 0 (mod 7)
y ≡ 0 (mod 9)
Здесь y — это число, которое мы вычитаем из x.
Решим первые два уравнения системы. Для этого найдём числа M1 и M2, такие что M1 ≡ 1 (mod 3) и M1 ≡ 0 (mod 5), а M2 ≡ 0 (mod 3) и M2 ≡ 1 (mod 5). Такие числа можно найти, например, методом обратных элементов. В данном случае M1 = 5, M2 = 2.
Тогда решение первых двух уравнений имеет вид:
x ≡ 2M2 + 4M1 (mod 15)
x ≡ 14 (mod 15)
Первое уравнение получено путём умножения первого уравнения системы на M2 и второго уравнения на M1, а затем сложения полученных уравнений.
Решим теперь третье уравнение системы. Для этого найдём число z, такое что z ≡ 1 (mod 7) и z ≡ 0 (mod 9). Такое число можно найти, например, методом обратных элементов. В данном случае z = 64.
Тогда из третьего уравнения системы получаем:
x ≡ y (mod 7)
y ≡ 64 (mod 7)
y ≡ 0 (mod 9)
Решение этой системы имеет вид:
y ≡ 64 (mod 63)
y ≡ 0 (mod 9)
y ≡ 504 (mod 567)
Первое уравнение получено путём умножения третьего уравнения на обратный элемент 7 по модулю 9, а затем вычисления остатка от деления на 7.
Теперь мы имеем две системы сравнений:
x ≡ 14 (mod 15)
y ≡ 504 (mod 567)
Решим их методом китайской теоремы об остатках. Для этого найдём числа M1 и M2, такие что M1 ≡ 1 (mod 567) и M1 ≡ 0 (mod 15), а M2 ≡ 0 (mod 567) и M2 ≡ 1 (mod 15). Такие числа можно найти, например, методом обратных элементов. В данном случае M1 = 15, M2 = 378.
Тогда решение системы имеет вид:
x ≡ 14M2 + 504M1 (mod 8505)
x ≡ 2679 (mod 8505)
Ответ: искомое число равно 2679.
