Вопрос школьника
Сформулируйте определение того, что две сферы касаются. Докажите, что если расстояние между центрами двух сфер равно сумме или разности их радиусов, то эти сферы касаются.
Ответ от учителя
Две сферы касаются, если они имеют общую точку на своей границе, то есть на сфере. Эта точка называется точкой касания. Если две сферы касаются, то расстояние между их центрами равно радиусу вписанной в них сферы.
Для доказательства того, что если расстояние между центрами двух сфер равно сумме или разности их радиусов, то эти сферы касаются, рассмотрим две сферы с центрами в точках A и B и радиусами r1 и r2 соответственно.
Пусть расстояние между центрами сфер равно сумме их радиусов, то есть AB = r1 + r2. Тогда построим сферу с центром в точке A и радиусом r1 + r2. Эта сфера будет касаться сферы с центром в точке B и радиусом r2 в точке касания C, так как расстояние от точки C до центра сферы в точке B равно r2, а расстояние от точки C до центра сферы в точке A равно r1 + r2, что соответствует радиусу вписанной в них сферы.
Аналогично, если расстояние между центрами сфер равно разности их радиусов, то есть AB = |r1 — r2|, то построим сферу с центром в точке A и радиусом r1 — r2. Эта сфера будет касаться сферы с центром в точке B и радиусом r2 в точке касания C, так как расстояние от точки C до центра сферы в точке B равно r2, а расстояние от точки C до центра сферы в точке A равно r1 — r2, что соответствует радиусу вписанной в них сферы.
Таким образом, если расстояние между центрами двух сфер равно сумме или разности их радиусов, то эти сферы касаются.
