Вопрос школьника
Шар касается всех сторон прямоугольного треугольника, длины катетов которого равны 6 см и 8 см. Вычислите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 10 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство описанной окружности прямоугольного треугольника. Оно заключается в том, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе треугольника. Таким образом, мы можем найти диаметр описанной окружности:
$c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
где $a$ и $b$ — длины катетов треугольника.
Так как шар касается всех сторон треугольника, то его центр лежит на пересечении высот треугольника. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно радиусу описанной окружности. Таким образом, мы можем найти радиус шара:
$r = 10 text{ см} — frac{c}{2} = 10 text{ см} — frac{10 text{ см}}{2} = 5 text{ см}$
Ответ: радиус шара, касающегося всех сторон прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см, при расстоянии от его центра до плоскости треугольника равном 10 см, равен 5 см.
