Вопрос школьника
Шар катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Определите, какую часть составляет энергия поступательного движения от суммарной кинетической энергии шара?
Ответ от учителя
Когда шар катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, его движение можно разделить на две составляющие: поступательное и вращательное. Поступательное движение описывается скоростью центра масс шара, а вращательное — угловой скоростью вокруг своей оси.
Суммарная кинетическая энергия шара равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:
K = Kпост + Kвр
Где K — суммарная кинетическая энергия, Kпост — кинетическая энергия поступательного движения, Kвр — кинетическая энергия вращательного движения.
Кинетическая энергия поступательного движения определяется формулой:
Kпост = (mv²)/2
Где m — масса шара, v — скорость центра масс шара.
Кинетическая энергия вращательного движения определяется формулой:
Kвр = (Iω²)/2
Где I — момент инерции шара относительно его оси вращения, ω — угловая скорость вращения.
Если шар катится без проскальзывания, то между скоростью центра масс и угловой скоростью существует связь:
v = Rω
Где R — радиус шара.
Тогда можно выразить угловую скорость через скорость центра масс:
ω = v/R
И подставить это выражение в формулу для кинетической энергии вращательного движения:
Kвр = (Iv²)/(2R²)
Таким образом, доля кинетической энергии поступательного движения от суммарной кинетической энергии шара будет равна:
Kпост/K = Kпост/(Kпост + Kвр) = (mv²)/(mv² + (Iv²)/(2R²))
Эту долю можно выразить через момент инерции шара и его радиус:
Kпост/K = (5/7)(R/v)²
Таким образом, доля кинетической энергии поступательного движения от суммарной кинетической энергии шара зависит от радиуса шара и его скорости. Если шар имеет большой радиус и/или высокую скорость, то доля кинетической энергии поступательного движения будет больше.
