Вопрос школьника
Сім гномів зібрались увечері навколо вогнища. Виявилося, що зріст кожного гнома дорівнює середньому арифметичному зросту двох його сусідів. Доведіть, що всі гноми були одного зросту.
Ответ от учителя
Для того, щоб довести, що всі гноми були одного зросту, потрібно використати математичну логіку та знання про середнє арифметичне.
Нехай зрост гнома №1 дорівнює х, зрост гнома №2 дорівнює у, зрост гнома №3 дорівнює z і так далі до гнома №7, зрост якого дорівнює g.
За умовою задачі, зрост кожного гнома дорівнює середньому арифметичному зросту двох його сусідів. Тобто:
для гнома №1: х = (у + z) / 2
для гнома №2: у = (х + z) / 2 та (у + g) / 2
для гнома №3: z = (х + у) / 2 та (z + g) / 2
для гнома №4: …
для гнома №5: …
для гнома №6: …
для гнома №7: g = (z + у) / 2
Можна скласти систему рівнянь з усіх цих рівнянь та розв’язати її, але є більш простий спосіб.
Зауважимо, що у кожному рівнянні зустрічаються тільки зрости двох гномів та середнє арифметичне цих зростів. Оскільки всі гноми зібрались навколо вогнища, то кожен гном має двох сусідів. Тому, якщо зрости двох гномів відрізняються, то середнє арифметичне цих зростів теж буде відрізнятись. Але за умовою задачі, зрост кожного гнома дорівнює середньому арифметичному зросту двох його сусідів. Отже, якщо зрости двох гномів відрізняються, то гноми не можуть мати однаковий зріст.
Отже, щоб всі гноми мали однаковий зріст, зрости двох сусідніх гномів повинні бути однаковими. Тобто, х = у = z = … = g.
Отже, всі гноми мають однаковий зріст.
