Вопрос школьника
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен √3/3. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремами о прямоугольных треугольниках и тригонометрическими соотношениями.
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC противоположный гипотенузе угол имеет меру α, а прилежащий катет имеет длину b. Тогда:
— синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin(α) = b/c;
— косинус угла α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos(α) = a/c;
— тангенс угла α равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: tg(α) = b/a;
— котангенс угла α равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету: ctg(α) = a/b.
В нашем случае известен синус угла α, равный √3/3. Пусть противолежащий катет имеет длину x, а гипотенуза имеет длину 1. Тогда по теореме Пифагора:
x^2 + (√3/3)^2 = 1^2
x^2 + 1/3 = 1
x^2 = 2/3
x = √(2/3)
Теперь можем найти остальные тригонометрические функции угла β:
— синус угла β равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin(β) = x/1 = √(2/3);
— косинус угла β равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos(β) = (√3/3)/1 = √3/3;
— тангенс угла β равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: tg(β) = x/((√3/3)) = √2;
— котангенс угла β равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету: ctg(β) = (√3/3)/x = (√3/3)/(√(2/3)) = (√3/3) * (√3/2) = √3/2.
Таким образом, синус второго острого угла равен √(2/3), косинус равен √3/3, тангенс равен √2, а котангенс равен √3/2.
