Вопрос школьника
Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями x=A1 sin ωt и y=A2 cos ω(t+τ), где A1=2 см, A2=1 см, ω=π с-1, τ=0,5 c. Найти уравнение траектории и построить ее, показав направление движения точки
Ответ от учителя
Для нахождения уравнения траектории необходимо выразить координаты точки, движущейся под действием двух перпендикулярных колебаний, через время t. Для этого воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы углов:
x = A1 sin ωt
y = A2 cos ω(t+τ) = A2 cos ωt cos ωτ — A2 sin ωt sin ωτ
Заметим, что уравнения для x и y содержат одинаковую зависимость от времени t, а именно синус. Поэтому можно выразить sin ωt через x и подставить в уравнение для y:
sin ωt = x/A1
y = A2 cos ωτ — A2 (x/A1) sin ωτ
Упростим это выражение, выделив общий множитель A2 sin ωτ:
y = A2 sin ωτ (cos ωτ/x — x/A1)
Таким образом, уравнение траектории имеет вид:
y = k (cos ωτ/x — x/A1)
где k = A2 sin ωτ — постоянный множитель, определяющий амплитуду траектории.
Для построения траектории необходимо выбрать несколько значений времени t и вычислить соответствующие значения координат x и y. Направление движения точки определяется знаком производной dy/dx:
dy/dx = -k/[(x/A1)^2 + (cos ωτ)^2]
Знак этой производной зависит от знака множителя k и от знака выражения в знаменателе. Если x/A1 > |cos ωτ|, то производная отрицательна и точка движется влево-вниз. Если x/A1 < |cos ωτ|, то производная положительна и точка движется вправо-вверх. В точке x/A1 = |cos ωτ| производная равна нулю, что соответствует точке разворота траектории. Ниже приведен график траектории для выбранных значений времени t:  На графике видно, что точка движется по эллипсу с центром в начале координат и полуосями A1 и k/|cos ωτ|. Направление движения точки меняется в точке разворота, которая находится на оси x в точке x = ±A1|cos ωτ|.
