Вопрос школьника
Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел:
1) от 1 до 10 включительно;
2) от 15 до 24 включительно;
3) от 10 до ЗО включительно;
4) * от 1 до 100 включительно?
Ответ от учителя
1) Произведение всех натуральных чисел от 1 до 10 включительно равно 10! (10 факториал). Чтобы найти количество нулей в конце этого числа, нужно разложить его на простые множители и посчитать количество множителей 5. В числе 10! есть два множителя 5 (5 и 10), поэтому оно заканчивается на два нуля.
2) Произведение всех натуральных чисел от 15 до 24 включительно можно представить как произведение чисел от 1 до 24, разделенное на произведение чисел от 1 до 14. Таким образом, мы исключим из произведения все множители, которые могут дать нули в конце (2 и 5), кроме тех, которые встречаются в числах от 15 до 24. В числах от 15 до 24 есть два множителя 5 (15 и 20), поэтому произведение всех чисел от 15 до 24 заканчивается на два нуля.
3) Произведение всех натуральных чисел от 10 до 30 включительно можно представить как произведение чисел от 1 до 30, разделенное на произведение чисел от 1 до 9. Таким образом, мы исключим из произведения все множители, которые могут дать нули в конце (2 и 5), кроме тех, которые встречаются в числах от 10 до 30. В числах от 10 до 30 есть шесть множителей 5 (10, 15, 20, 25, 30), поэтому произведение всех чисел от 10 до 30 заканчивается на шесть нулей.
4) Произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно можно представить как произведение чисел от 1 до 50, разделенное на произведение чисел от 1 до 49. Таким образом, мы исключим из произведения все множители, которые могут дать нули в конце (2 и 5), кроме тех, которые встречаются в числах от 1 до 100. В числах от 1 до 100 есть 20 множителей 5 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100), и 50 множителей 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100). Поскольку множители 2 встречаются чаще, чем множители 5, количество нулей в конце произведения всех чисел от 1 до 100 будет определяться количеством множителей 5. Всего таких множителей 20, но некоторые из них дают два нуля (25, 50, 75, 100), поэтому количество нулей в конце произведения всех чисел от 1 до 100 будет равно 20 + 4 = 24.
