Вопрос школьника
Сколькими способами можно раскрасить флаг из 5 полос так, чтобы: а) 3 полосы были красными, а 2 — синими; б) 1 полоса была красной, 1 полоса — жёлтой, а 3 — зелёными? Нарисуй их.
Ответ от учителя
а) Для первого случая мы должны выбрать 3 полосы из 5, которые будут красными. Это можно сделать $C_5^3$ способами. Оставшиеся 2 полосы будут синими. Таким образом, мы получаем $C_5^3 = frac{5!}{3!2!} = 10$ способов раскрасить флаг.
б) Для второго случая мы должны выбрать 1 полосу из 5, которая будет красной, 1 полосу — жёлтой и 3 полосы — зелёными. Это можно сделать $C_5^1 cdot C_4^1 cdot C_3^3$ способами. Первый множитель $C_5^1$ означает, что мы выбираем 1 полосу из 5, которая будет красной. Второй множитель $C_4^1$ означает, что мы выбираем 1 полосу из оставшихся 4, которая будет жёлтой. Третий множитель $C_3^3$ означает, что из оставшихся 3 полос мы выбираем все 3, которые будут зелёными. Таким образом, мы получаем $C_5^1 cdot C_4^1 cdot C_3^3 = 5 cdot 4 cdot 1 = 20$ способов раскрасить флаг.
Ниже приведены изображения флагов, соответствующих каждому из двух случаев:
а)
б)
