Вопрос школьника
а) Сколько цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 7?
б) В каком случае разложение обыкновенной дроби в десятичную является: конечным; бесконечным?
в) Почему десятичное разложение дроби 3/7 периодическое?
Ответ от учителя
а) Знаменатель дроби равен 7, что означает, что в десятичном разложении знаменатель будет иметь вид $7 = 2 cdot 5 — 1$. Таким образом, мы можем применить малую теорему Ферма, которая говорит, что $10^{p-1} equiv 1 pmod{p}$ для любого простого числа $p$, не делящего 10. В нашем случае $p=7$, поэтому $10^6 equiv 1 pmod{7}$. Это означает, что период десятичной дроби, соответствующей несократимой дроби с знаменателем 7, делит $6$. Так как $10^k equiv 1 pmod{7}$ только для $k=0,1,2,3,4,5$, то период может быть длиной не более $6$. Однако, если период имеет длину меньше $6$, то мы можем дополнить его нулями слева до длины $6$, и полученное число также будет удовлетворять условию периодичности. Таким образом, период десятичной дроби, соответствующей несократимой дроби с знаменателем 7, может иметь длину от 1 до 6 цифр.
б) Разложение обыкновенной дроби в десятичную является конечным, если знаменатель дроби имеет вид $2^m 5^n$ для некоторых неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. В этом случае дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Например, дробь $frac{3}{20}$ имеет конечное десятичное разложение, так как $20 = 2^2 cdot 5$.
Разложение обыкновенной дроби в десятичную является бесконечным, если знаменатель дроби не имеет вид $2^m 5^n$ для некоторых неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. В этом случае дробь может быть представлена в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например, дробь $frac{1}{3}$ имеет бесконечное периодическое десятичное разложение.
в) Десятичное разложение дроби $frac{3}{7}$ периодическое, потому что знаменатель 7 не делится на 2 или на 5, и поэтому не может быть представлен в виде $2^m 5^n$. Следовательно, дробь $frac{3}{7}$ не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Однако, мы уже знаем, что период десятичной дроби, соответствующей несократимой дроби с знаменателем 7, имеет длину не более 6. Мы можем вычислить десятичное разложение $frac{3}{7}$ и убедиться, что оно начинается с $0.428571$, и затем повторяется бесконечно: $0.428571428571428571428571428571…$. Период этой десятичной дроби имеет длину 6, что соответствует нашему предыдущему выводу.
