Вопрос школьника
Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 20
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать формулу Пуассона, которая позволяет определить вероятность того, что событие произойдет определенное количество раз в серии независимых испытаний.
Формула Пуассона имеет вид:
P(k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
где P(k) — вероятность того, что событие произойдет k раз в серии испытаний, λ — среднее число появлений события в одном испытании, e — число Эйлера (2,71828), k! — факториал числа k.
Для того чтобы наивероятнейшее число появлений события в серии испытаний было равно 20, необходимо найти такое значение λ, при котором P(20) будет максимальным.
Для этого воспользуемся формулой для расчета среднего числа появлений события в одном испытании:
λ = p * n
где p — вероятность появления события в одном испытании, n — количество испытаний.
В данном случае p = 0,4, а наивероятнейшее число появлений события равно 20, следовательно:
λ = 0,4 * 20 = 8
Таким образом, среднее число появлений события в одном испытании равно 8.
Далее, для определения количества независимых испытаний необходимо найти такое значение n, при котором P(20) будет максимальным.
Для этого воспользуемся формулой Пуассона:
P(20) = (8^20 * e^(-8)) / 20!
P(20) = 0,139
Таким образом, вероятность того, что наивероятнейшее число появлений события в серии испытаний будет равно 20, составляет 0,139.
Чтобы найти количество независимых испытаний, необходимо последовательно увеличивать значение n и вычислять соответствующие значения P(20), пока не будет достигнуто значение, при котором P(20) будет максимальным.
Например, при n = 50:
P(20) = (8^20 * e^(-8)) / 20!
P(20) = 0,129
При n = 100:
P(20) = (8^20 * e^(-8)) / 20!
P(20) = 0,139
При n = 200:
P(20) = (8^20 * e^(-8)) / 20!
P(20) = 0,138
Таким образом, для достижения наивероятнейшего числа появлений события равного 20, необходимо провести около 100 независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4.
