Вопрос школьника
Сколько прямых проходят через различные пары: а) из 3-х точек; б) из 4-х точек; в) из 5-ти точек; г) из п различных точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой?
Ответ от учителя
а) Из трех точек проходит только одна прямая. Это можно понять из определения прямой — это наименьшее расстояние между двумя точками. Если есть три точки, то две из них можно соединить прямой, а третья будет лежать на этой прямой.
б) Из четырех точек проходят различное количество прямых, в зависимости от их расположения. Если все четыре точки лежат на одной прямой, то через них проходит только одна прямая. Если три точки лежат на одной прямой, то через них проходит только одна прямая, а четвертая точка может лежать на этой прямой или быть вне ее. Если все четыре точки не лежат на одной прямой, то через каждую пару точек проходит ровно одна прямая, итого получается 6 прямых.
в) Из пяти точек через каждую пару точек проходит ровно одна прямая. Чтобы это понять, можно вспомнить, что для определения прямой нужны две точки. Если есть пять точек, то можно выбрать любые две из них и провести через них прямую. При этом остаются три точки, и для каждой из них можно выбрать любую из двух уже выбранных точек и провести через них прямую. Итого получается 10 прямых.
г) Если есть п различных точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, то через каждую пару точек проходит ровно одна прямая. Это следует из теоремы о том, что через две различные точки проходит ровно одна прямая. Если выбрать любые две точки из п, то через них проходит ровно одна прямая. При этом остаются p-2 точки, и для каждой из них можно выбрать любую из двух уже выбранных точек и провести через них прямую. Итого получается (p-2) прямых.
