Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов с одним из внешних равна 2250°?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно знать, что сумма внутренних углов n-угольника равна (n-2)×180°, а сумма внешних углов равна 360°.
Пусть наш многоугольник имеет n сторон. Тогда сумма его внутренних углов будет равна (n-2)×180°. Пусть один из внешних углов равен x°. Тогда сумма внешних углов будет равна 360°, то есть:
n×x = 360°
Отсюда можно выразить x через n:
x = 360°/n
Теперь мы можем записать уравнение, связывающее сумму внутренних углов и один из внешних углов:
(n-2)×180° + x = 2250°
Подставляем выражение для x:
(n-2)×180° + 360°/n = 2250°
Решаем это уравнение относительно n. Для этого сначала упростим его, умножив обе части на n:
(n-2)×180°×n + 360° = 2250°×n
Раскрываем скобки:
180°×n² — 360°×n + 360° = 2250°×n
Переносим все члены в одну сторону:
180°×n² — 2610°×n + 360° = 0
Теперь можем решить это квадратное уравнение:
n = [2610° ± √(2610°² — 4×180°×360°)] / (2×180°)
n = [2610° ± √(2610°² — 259200°)] / 360°
n = [2610° ± 30°] / 360°
n1 = 7, n2 = 13
Получили два корня: n1 = 7 и n2 = 13. Это значит, что наш многоугольник может иметь либо 7, либо 13 сторон.
Проверим, что оба варианта удовлетворяют условию задачи. Для 7-угольника сумма внутренних углов равна (7-2)×180° = 900°. Пусть один из внешних углов равен x°. Тогда сумма внешних углов будет равна 360°, то есть:
7×x = 360°
x = 360°/7 ≈ 51.43°
Теперь проверим, что сумма внутренних углов и один из внешних углов равна 2250°:
900° + 51.43° = 951.43°
Это не равно 2250°, значит, 7-угольник не подходит.
Проверим теперь 13-угольник. Сумма внутренних углов равна (13-2)×180° = 1980°. Пусть один из внешних углов равен x°. Тогда сумма внешних углов будет равна 360°, то есть:
13×x = 360°
x = 360°/13 ≈ 27.69°
Теперь проверим, что сумма внутренних углов и один из внешних углов равна 2250°:
1980° + 27.69° = 2007.69°
Это не равно 2250°, значит, 13-угольник тоже не подходит.
Значит, ответ на задачу: выпуклый многоугольник не существует.
