Вопрос школьника
Слава согнул кусок проволоки так, что получился треугольник со сторонами длиной 8 см, 3 см и б см. Какой длины был этот кусок проволоки? Чему равен периметр треугольника?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать теорему косинусов, которая гласит:
$a^2 = b^2 + c^2 — 2bccosalpha$
где a, b и c — длины сторон треугольника, а α — угол между сторонами b и c.
В нашем случае известны длины сторон треугольника: 8 см, 3 см и b см. Пусть угол между сторонами 3 см и b см равен α. Тогда по теореме косинусов:
$8^2 = 3^2 + b^2 — 2cdot3cdot bcdotcosalpha$
$64 = 9 + b^2 — 6bcosalpha$
$b^2 — 6bcosalpha + 55 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения нам нужно знать значение угла α. Мы можем найти его, используя ту же теорему косинусов для угла между сторонами 8 см и b см:
$3^2 = 8^2 + b^2 — 2cdot8cdot bcdotcosbeta$
$9 = 64 + b^2 — 16bcosbeta$
$b^2 — 16bcosbeta + 55 = 0$
Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (b и α), но мы можем их решить, используя метод подстановки. Решим первое уравнение относительно cos α:
$cosalpha = frac{b^2 — 64 + 9}{2cdot3cdot b} = frac{b^2 — 55}{6b}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$b^2 — 6bcdotfrac{b^2 — 55}{6b} + 55 = 0$
$b^2 — b^2 + 55 = 0$
$b = sqrt{55}$
Таким образом, длина проволоки равна:
$8 + 3 + sqrt{55} = 11 + sqrt{55}$
Периметр треугольника равен:
$8 + 3 + sqrt{55} = 11 + sqrt{55}$
Ответ: длина проволоки равна 11 + √55 см, периметр треугольника равен 11 + √55 см.
