Вопрос школьника
Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полете 12 с. Какой наибольшей высоты достиг снаряд?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо знать, что траектория движения снаряда, вылетевшего из орудия под углом к горизонту, является параболой. Также необходимо знать, что время полета снаряда до момента достижения наивысшей точки равно половине общего времени полета.
Из условия задачи известно, что время полета снаряда равно 12 с. Значит, время полета до достижения наивысшей точки равно 6 с.
Для определения наивысшей точки траектории необходимо найти вертикальную составляющую скорости снаряда в момент вылета из орудия. Для этого можно воспользоваться формулой для горизонтальной и вертикальной составляющих скорости:
Vx = V * cos(α)
Vy = V * sin(α)
где Vx — горизонтальная составляющая скорости, Vy — вертикальная составляющая скорости, V — абсолютная скорость снаряда, α — угол между направлением вылета снаряда и горизонтом.
Из условия задачи известно, что снаряд вылетел под углом к горизонту, но неизвестно значение этого угла. Однако можно воспользоваться тем, что горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на всей траектории движения снаряда. Значит, можно записать:
Vx = V * cos(α) = const
Также известно, что вертикальная составляющая скорости в момент вылета из орудия равна:
Vy = V * sin(α)
Таким образом, можно записать уравнение траектории движения снаряда:
y = Vy * t — (g * t^2) / 2
где y — высота, на которой находится снаряд в момент времени t, g — ускорение свободного падения.
Для определения наивысшей точки траектории необходимо найти момент времени, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Это происходит в момент достижения наивысшей точки траектории. Значит, можно записать:
Vy = V * sin(α) — g * t = 0
Отсюда можно найти время, через которое снаряд достигнет наивысшей точки:
t = V * sin(α) / g
Подставляя это значение времени в уравнение траектории, можно найти высоту, на которой находится снаряд в момент достижения наивысшей точки:
y = Vy * t — (g * t^2) / 2 = (V * sin(α))^2 / (2 * g)
Таким образом, чтобы определить наибольшую высоту, достигнутую снарядом, необходимо найти максимальное значение выражения (V * sin(α))^2 / (2 * g). Значение этого выражения зависит от угла α, под которым снаряд вылетел из орудия. Чтобы найти наибольшую высоту, необходимо найти угол α, при котором это выражение максимально.
Для этого можно воспользоваться производной этого выражения по углу α:
d/dα [(V * sin(α))^2 / (2 * g)] = (V^2 * sin(2α)) / (2 * g)
Значение производной равно нулю при sin(2α) = 0, то есть при α = 0 или α = π/2. Однако при α = 0 снаряд не будет иметь вертикальной составляющей скорости, а при α = π/2 снаряд полетит вертикально вверх и не достигнет наибольшей высоты. Значит, максимальное значение выражения (V * sin(α))^2 / (2 * g) достигается при α = π/4.
Таким образом, наибольшая высота, достигнутая снарядом, равна (V^2 / (2 * g)). Для ее определения необходимо знать абсолютную скорость снаряда. Если она неизвестна, то ее можно определить из условия, что время полета равно 12 с и горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на всей траектории движения снаряда:
Vx = V * cos(α) = const
V = Vx / cos(α)
Таким образом, наибольшая высота, достигнутая снарядом, равна (Vx^2 / (2 * g)).
