Вопрос школьника
Составь задачу на кратное сравнение, первым действием решения которой будет действие: а) сложения; б) вычитания.
Ответ от учителя
Кратное сравнение — это метод решения системы сравнений, когда все модули являются кратными друг другу.
Пример задачи на кратное сравнение с первым действием сложения:
Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 3, при делении на 8 даёт остаток 5, а при делении на 9 даёт остаток 6.
Решение:
Обозначим искомое число за x. Тогда система сравнений будет выглядеть следующим образом:
x ≡ 3 (mod 6)
x ≡ 5 (mod 8)
x ≡ 6 (mod 9)
Модули 6, 8 и 9 являются кратными друг другу, поэтому мы можем использовать метод китайской теоремы об остатках для решения этой системы.
Шаг 1: Найдём N — произведение всех модулей: N = 6 * 8 * 9 = 432.
Шаг 2: Найдём n1, n2 и n3 — числа, обратные к модулям 8, 6 и 9 по модулю 6, 8 и 9 соответственно.
n1 = 2, так как 8 * 2 ≡ 1 (mod 6)
n2 = 4, так как 6 * 4 ≡ 1 (mod 8)
n3 = 5, так как 9 * 5 ≡ 1 (mod 6)
Шаг 3: Найдём с1, с2 и с3 — остатки от деления N на модули 6, 8 и 9 соответственно.
c1 = 0, так как 432 ≡ 0 (mod 6)
c2 = 0, так как 432 ≡ 0 (mod 8)
c3 = 0, так как 432 ≡ 0 (mod 9)
Шаг 4: Найдём x — решение системы сравнений.
x = (3 * 8 * 9 * n1 + 5 * 6 * 9 * n2 + 6 * 6 * 8 * n3) mod 432
x = (1728n1 + 2160n2 + 2592n3) mod 432
x = (1728 * 2 + 2160 * 4 + 2592 * 5) mod 432
x = 233 mod 432
Ответ: искомое число равно 233.
Пример задачи на кратное сравнение с первым действием вычитания:
Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 4 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 3, а при делении на 7 даёт остаток 4.
Решение:
Обозначим искомое число за x. Тогда система сравнений будет выглядеть следующим образом:
x ≡ 2 (mod 4)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 7)
Модули 4, 5 и 7 не являются кратными друг другу, поэтому мы не можем использовать метод китайской теоремы об остатках. Однако, мы можем применить метод последовательных приближений.
Шаг 1: Найдём число, которое удовлетворяет первым двум сравнениям.
x ≡ 2 (mod 4)
x ≡ 3 (mod 5)
Найдём наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет этим двум сравнениям.
x = 3 (mod 4 * 5)
x = 23
Шаг 2: Проверим, удовлетворяет ли число x третьему сравнению.
x ≡ 4 (mod 7)
23 ≡ 2 (mod 7)
23 + 2 * 4 = 31 ≡ 3 (mod 7)
23 + 2 * 4 + 7 * 2 = 37 ≡ 4 (mod 7)
Ответ: искомое число равно 37.
