Вопрос школьника
Составьте уравнение окружности вписанной в ромб ABCD, диагонали которого лежат на осях координат, если АС = 8, BD = 6
Ответ от учителя
Для начала заметим, что диагонали ромба ABCD пересекаются в его центре O и делятся пополам. Также, так как диагонали лежат на осях координат, то координаты точек A, B, C, D будут иметь вид (±a, 0) и (0, ±b), где a и b — половины длин диагоналей AC и BD соответственно.
Так как окружность вписана в ромб, то ее центр также будет находиться в точке O. Пусть радиус этой окружности равен r. Тогда, так как AC = 8, то a = 4, а так как BD = 6, то b = 3.
Теперь рассмотрим треугольник AOB. Он является прямоугольным, так как его стороны являются радиусом окружности, диагональю ромба и отрезком, соединяющим центр окружности с одной из вершин ромба. Из этого треугольника можно выразить r:
r^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2 = 5
Таким образом, уравнение окружности имеет вид:
(x — 0)^2 + (y — 0)^2 = 5
или
x^2 + y^2 = 5
Ответ: уравнение окружности вписанной в ромб ABCD, диагонали которого лежат на осях координат, если АС = 8, BD = 6, имеет вид x^2 + y^2 = 5.
