Вопрос школьника
Составьте уравнение окружности, являющейся образом окружности (х+ 2)2 + (у — 3)2= 25 при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии, равным -4.
Ответ от учителя
Для составления уравнения окружности, являющейся образом данной окружности при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии, равным -4, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти координаты центра данной окружности. Для этого нужно вычесть из координат центра окружности (х+2)² + (у-3)² = 25 координаты центра координатной плоскости (0,0):
x₀ = -2, y₀ = 3.
2. Найти радиус данной окружности. Для этого нужно извлечь квадратный корень из правой части уравнения окружности:
r = √25 = 5.
3. Найти координаты центра образа окружности. Для этого нужно умножить координаты центра исходной окружности на коэффициент гомотетии:
x’₀ = -4·(-2) = 8, y’₀ = -4·3 = -12.
4. Найти радиус образа окружности. Для этого нужно умножить радиус исходной окружности на абсолютное значение коэффициента гомотетии:
r’ = |-4|·5 = 20.
5. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке (x’₀, y’₀) и радиусом r’. Общее уравнение окружности имеет вид:
(x — x’₀)² + (y — y’₀)² = r’².
Подставляя значения координат центра и радиуса образа окружности, получаем:
(x — 8)² + (y + 12)² = 400.
Ответ: уравнение окружности, являющейся образом окружности (х+2)² + (у-3)² = 25 при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии, равным -4, имеет вид (x — 8)² + (y + 12)² = 400.
