Вопрос школьника
Спутник Земли, двигавшийся первоначально по круговой орбите радиусом R1, переводят на эллиптическую орбиту с максимальным удалением от Земли R2 и минимальным удалением R1. Насколько нужно изменить скорость спутника для такого манёвра? Каким станет период обращения аппарата?
Ответ от учителя
Перед переходом на эллиптическую орбиту, спутник двигался по круговой орбите радиусом R1. Скорость спутника на круговой орбите определяется формулой:
v1 = √(GM/R1),
где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли.
При переходе на эллиптическую орбиту, скорость спутника должна измениться таким образом, чтобы сохранить закон сохранения энергии. Энергия спутника на круговой орбите равна:
E1 = -GMm/2R1,
где m — масса спутника.
Энергия спутника на эллиптической орбите равна:
E2 = -GMm/2a,
где a — большая полуось эллипса.
Таким образом, изменение энергии спутника при переходе на эллиптическую орбиту равно:
ΔE = E2 — E1 = GMm/2(1/a — 1/R1).
Из закона сохранения энергии следует, что изменение энергии спутника равно работе, которую нужно совершить, чтобы изменить скорость спутника. Работа, совершаемая при изменении скорости спутника, равна:
W = ΔE = GMm/2(1/a — 1/R1).
Скорость спутника на эллиптической орбите определяется формулой:
v2 = √(GM(2/R1 — 1/a)).
Таким образом, изменение скорости спутника при переходе на эллиптическую орбиту равно:
Δv = v2 — v1 = √(GM(2/R1 — 1/a)) — √(GM/R1).
Период обращения спутника на эллиптической орбите определяется формулой:
T = 2π√(a^3/GM).
Таким образом, период обращения спутника на эллиптической орбите будет больше, чем на круговой орбите.
