Вопрос школьника
Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
F = G * (m1 * m2) / r^2
где F — сила притяжения, G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы тел, r — расстояние между центрами тел.
Для того чтобы тело находилось в точке, где оно будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой, необходимо, чтобы расстояние от этой точки до центра Земли и до центра Луны было одинаковым. Обозначим это расстояние как x.
Тогда сила притяжения Земли на это тело будет равна:
F1 = G * (m1 * m3) / (60 + x)^2
где m3 — масса тела.
А сила притяжения Луны на это тело будет равна:
F2 = G * (m2 * m3) / (60 — x)^2
где m2 — масса Луны.
Так как тело притягивается Землей и Луной с одинаковой силой, то F1 = F2:
G * (m1 * m3) / (60 + x)^2 = G * (m2 * m3) / (60 — x)^2
Упрощая выражение, получаем:
m1 / (60 + x)^2 = m2 / (60 — x)^2
m1 * (60 — x)^2 = m2 * (60 + x)^2
Раскрывая скобки, получаем:
m1 * (3600 — 120x + x^2) = m2 * (3600 + 120x + x^2)
Решая это уравнение относительно x, получаем:
x = sqrt((m2 / m1) * 60^2) — 60
Подставляя значения масс Земли и Луны, получаем:
x = sqrt((1 / 81) * 60^2) — 60 = 38,2 земных радиусов
Таким образом, тело будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой в точке, находящейся на расстоянии 38,2 земных радиусов от центра Земли в сторону Луны.
