Вопрос школьника
Средняя линия трапеции равна 10 см. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 2 см. Найдите основания этой трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а диагональ, которая делит трапецию на две части, равна $d$. Тогда средняя линия трапеции равна $frac{a+b}{2}=10$.
Также известно, что разность отрезков, на которые делится трапеция диагональю, равна $d_1-d_2=2$.
Используя формулу для диагонали трапеции, можно записать:
$$d^2=left(frac{a-b}{2}right)^2+h^2$$
где $h$ — высота трапеции.
Также можно записать:
$$d_1+d_2=a+b$$
Теперь можно решить систему уравнений:
$$begin{cases} frac{a+b}{2}=10 \ d_1-d_2=2 \ d^2=left(frac{a-b}{2}right)^2+h^2 \ d_1+d_2=a+b end{cases}$$
Решая эту систему, получим:
$$a=14, b=6, h=sqrt{d^2-left(frac{a-b}{2}right)^2}=8$$
Таким образом, основания трапеции равны 14 см и 6 см.
