Вопрос школьника
Средняя линия трапеции равна 4, углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины этих оснований, равен 1.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны a и b, а высота равна h. Так как средняя линия трапеции равна 4, то ее длина равна (a+b)/2 = 4. Отсюда получаем, что a+b=8.
Рассмотрим треугольник, образованный серединой меньшего основания, серединой большего основания и точкой пересечения диагоналей трапеции. Этот треугольник равнобедренный, так как середины оснований делят их пополам, а углы при основаниях равны 40° и 50°. Пусть угол при вершине этого треугольника равен α. Тогда α = (180° — 40° — 50°)/2 = 45°.
Так как отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1, то высота трапеции равна 2/√2 = √2. Теперь можно найти основания трапеции, используя формулу для площади трапеции:
S = (a+b)h/2
Подставляем известные значения:
S = 4√2
h = √2
a+b = 8
Получаем:
4√2 = (a+b)√2/2
a+b = 8
Отсюда находим:
a+b = 8
a = 4 + √6
b = 4 — √6
Итак, основания трапеции равны a = 4 + √6 и b = 4 — √6.
