Вопрос школьника
Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании равны 30° и 60°. Найдите длины её оснований и меньшей боковой стороны.
Ответ от учителя
Пусть $ABCD$ — трапеция, где $AB$ и $CD$ — основания, $AD$ и $BC$ — боковые стороны, $M$ и $N$ — середины оснований $AB$ и $CD$ соответственно. Также пусть $AM = frac{AB}{2} = x$, $CN = frac{CD}{2} = y$, $MN = 3$ и $OM = ON = 5$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей).
Так как $OM = ON$, то $OMN$ — равнобедренный треугольник, и мы можем найти $OM$ (и $ON$) с помощью теоремы Пифагора:
$$OM^2 = ON^2 = MN^2 + MO^2 = 3^2 + 5^2 = 34$$
Так как $OM = x + 5$ и $ON = y + 5$, то мы можем выразить $x$ и $y$ через $OM$ и $ON$:
$$x = OM — 5 = sqrt{34} — 5$$
$$y = ON — 5 = sqrt{34} — 5$$
Также мы можем найти высоту $h$ трапеции, опущенную на основание $AB$:
$$h = sqrt{AD^2 — (frac{AB — CD}{2})^2} = sqrt{AD^2 — (frac{BC}{2})^2}$$
Так как $AD = BC = h + x + y$, то мы можем выразить $h$ через $x$ и $y$:
$$h = sqrt{(h + x + y)^2 — (frac{h — x + y}{2})^2}$$
Решая это уравнение относительно $h$, мы получаем:
$$h = frac{2sqrt{34}}{3} — frac{5}{3}$$
Теперь мы можем найти длины оснований $AB$ и $CD$:
$$AB = 2x = 2(sqrt{34} — 5)$$
$$CD = 2y = 2(sqrt{34} — 5)$$
Наконец, мы можем найти длину меньшей боковой стороны $AD$:
$$AD = BC = h + x + y = frac{4sqrt{34}}{3} — frac{10}{3}$$
Таким образом, длины оснований $AB$ и $CD$ равны $2(sqrt{34} — 5)$, а длина меньшей боковой стороны $AD$ равна $frac{4sqrt{34}}{3} — frac{10}{3}$.
