Вопрос школьника
Сторона AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AC продолжена за точку B на отрезок BD, равный AB. Докажите, что высоты BH и BE треугольников ABC и BCD взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник ABC является равнобедренным, а значит, высота BH является биссектрисой угла BAC. Также заметим, что треугольник BCD также является равнобедренным, так как BD = AB = AC (из условия задачи). Таким образом, высота BE является биссектрисой угла BDC.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Пусть точка H’ — основание высоты из вершины C. Тогда, так как треугольник ABC равнобедренный, то H’ лежит на биссектрисе угла BAC, а значит, точки H и H’ совпадают. Аналогично, рассмотрим треугольник BCD и пусть точка E’ — основание высоты из вершины D. Так как треугольник BCD равнобедренный, то E’ лежит на биссектрисе угла BDC, а значит, точки E и E’ совпадают.
Таким образом, мы доказали, что высоты BH и BE являются биссектрисами соответствующих углов треугольников ABC и BCD. А известно, что биссектрисы углов взаимно перпендикулярны, а значит, высоты BH и BE также взаимно перпендикулярны.
