Вопрос школьника
Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если ∠BAC = α.
Ответ от учителя
Пусть $x = angle BKM$ и $y = angle BCM$. Тогда $angle BKC = angle BKM + angle MKC = angle BKM + angle MBC = x + alpha$. Аналогично, $angle BVC = angle BCM + angle MCV = angle BCM + alpha$.
Так как площади треугольников $BDM$ и $BKC$ равны, то $frac{1}{2}BD cdot DM cdot sin x = frac{1}{2}BK cdot KC cdot sin(x+alpha)$. Заметим, что $BD = BC cdot sin angle BCD = BC cdot sin alpha$ и $DM = AC — AD = AC — AC cdot frac{1}{2} = frac{1}{2}AC$. Аналогично, $BK = BC cdot sin angle BCK = BC cdot sin y$ и $KC = AC — AK = AC — AC cdot frac{1}{3} = frac{2}{3}AC$. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
$$frac{1}{2}BC cdot sin alpha cdot frac{1}{2}AC cdot sin x = frac{1}{2}BC cdot sin y cdot frac{2}{3}AC cdot sin(x+alpha)$$
$$frac{1}{4} sin alpha cdot sin x = frac{1}{3} sin y cdot sin(x+alpha)$$
Раскрывая $sin(x+alpha)$, получаем:
$$frac{1}{4} sin alpha cdot sin x = frac{1}{3} sin y cdot (sin x cos alpha + cos x sin alpha)$$
$$frac{1}{4} sin alpha cdot sin x = frac{1}{3} sin y cdot sin x cos alpha + frac{1}{3} sin y cdot cos x sin alpha$$
$$frac{1}{4} sin alpha = frac{1}{3} sin y cos alpha + frac{1}{3} cos y sin alpha$$
$$frac{1}{4} sin alpha = frac{1}{3} sin y sin(alpha + 90^circ) + frac{1}{3} cos y sin alpha$$
$$frac{1}{4} sin alpha = frac{1}{3} cos y sin alpha + frac{1}{3} sin y cos alpha$$
$$frac{1}{4} tan alpha = frac{1}{3} tan y$$
$$tan y = frac{4}{3} tan alpha$$
Так как $angle BVC = angle BCM + alpha = y + alpha$, то $tan(y+alpha) = frac{tan y + tan alpha}{1 — tan y tan alpha} = frac{frac{4}{3} tan alpha + tan alpha}{1 — frac{4}{3} tan^2 alpha} = frac{7 tan alpha}{3 — 4 tan^2 alpha}$.
С другой стороны, $angle BKC = x + alpha$, поэтому $tan(x+alpha) = tan(x-angle BKM + angle BCM + alpha) = frac{tan(x-angle BKM) + tan angle BCM}{1 — tan(x-angle BKM) tan angle BCM}$. Заметим, что $angle BDM = 180^circ — angle BKM$, поэтому $tan(x-angle BKM) = tan(angle BDM — angle BCM) = frac{tan angle BDM — tan angle BCM}{1 + tan angle BDM tan angle BCM}$. Так как $angle BDM = 180^circ — angle BAC$, то $tan angle BDM = tan(180^circ — alpha) = -tan alpha$. Подставляя это, а также $tan y = frac{4}{3} tan alpha$ и $tan angle BCM = tan(angle BAC — angle BAC) = 0$, получаем:
$$tan(x+alpha) = frac{frac{4}{3} tan alpha — 0}{1 + frac{4}{3} tan^2 alpha} = frac{4 tan alpha}{3 + 4 tan^2 alpha}$$
Теперь найдем $tan angle VKM$. Заметим, что $angle VKM = angle BKC — angle BKM = (x+alpha) — x = alpha$. Поэтому $tan angle VKM = tan alpha$.
Наконец, найдем $angle VKM$. Так как $tan angle VKM = tan alpha$, то $angle VKM = alpha + k cdot 180^circ$, где $k$ — целое число. Однако, так как $angle VKM$ лежит в треугольнике $BVC$, то $0 < angle VKM < 180^circ$. Поэтому $k = 0$ и $angle VKM = alpha$. Итак, $angle VKM = alpha$.
