Вопрос школьника
Сторона правильного n-угольника равна аn. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей этого n-угольника, если n = 3, 4, 6.
Ответ от учителя
Для правильного n-угольника радиус описанной окружности равен R = an/(2sin(π/n)), а радиус вписанной окружности равен r = an/(2tan(π/n)).
При n = 3 (равносторонний треугольник) имеем a3 = a, где a — длина стороны треугольника. Тогда R = a/√3, r = a/(2√3).
При n = 4 (квадрат) имеем a4 = a√2, где a — длина стороны квадрата. Тогда R = a, r = a/2.
При n = 6 (правильный шестиугольник) имеем a6 = a√3, где a — длина стороны шестиугольника. Тогда R = 2a/√3, r = a/2.
Таким образом, для треугольника радиус описанной окружности равен a/√3, а радиус вписанной окружности равен a/(2√3). Для квадрата радиус описанной окружности равен a, а радиус вписанной окружности равен a/2. Для шестиугольника радиус описанной окружности равен 2a/√3, а радиус вписанной окружности равен a/2.
