Вопрос школьника
Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32√3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если точки М, Р и К − середины сторон AB, CD, EF соответственно
Ответ от учителя
Для начала найдем длину стороны правильного шестиугольника ABCDEF. Так как шестиугольник правильный, то все его стороны равны между собой. Пусть длина стороны равна a. Тогда:
a = 32√3 / 6 = 16√3
Теперь построим треугольник МРК и найдем его площадь. Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда:
S(MRK) = pr = (a/2)(a/2)(3/2)πr = (a^2/4)(3/2)πr = (16√3)^2/4 * (3/2) * πr = 192πr
Заметим, что треугольник МРК является равнобедренным, так как точки М, Р и К являются серединами сторон AB, CD и EF соответственно. Поэтому высота треугольника МРК, проведенная к основанию MR, равна радиусу вписанной окружности r.
Таким образом, площадь треугольника МРК можно выразить через длину основания MR и высоту h:
S(MRK) = (MR * h) / 2
Найдем длину основания MR. Так как точка М является серединой стороны AB, то MR = AB / 2 = a / 2 = 16√3 / 2 = 8√3.
Теперь можем выразить высоту h через площадь треугольника МРК:
h = (2 * S(MRK)) / MR = (2 * 192πr) / (8√3) = 24πr / √3
Сравнивая два выражения для площади треугольника МРК, получаем:
192πr = (MR * h) = (8√3) * (24πr / √3) = 192πr
Таким образом, радиус вписанной окружности равен:
r = 16
Ответ: радиус вписанной окружности, вписанной в треугольник МРК, равен 16.
