Вопрос школьника
Сторона равностороннего треугольника равна а. Найдите высоту этого треугольника, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности.
Ответ от учителя
Высота равностороннего треугольника равна h = a * √3 / 2.
Радиус описанной окружности равен R = a * √3 / 3.
Радиус вписанной окружности равен r = a / √3.
Для вычисления высоты равностороннего треугольника можно использовать теорему Пифагора, примененную к прямоугольному треугольнику, образованному половиной основания и высотой. Таким образом, мы получаем:
h² = a² — (a/2)²
h² = a² — a²/4
h² = 3a²/4
h = a * √3 / 2
Для вычисления радиуса описанной окружности можно использовать формулу, связывающую радиус описанной окружности с длиной стороны треугольника:
R = a * √3 / 3
Для вычисления радиуса вписанной окружности можно использовать формулу, связывающую радиус вписанной окружности с площадью треугольника:
r = S / p
где S — площадь треугольника, а p — полупериметр (полусумма длин сторон). Для равностороннего треугольника площадь можно вычислить по формуле:
S = a² * √3 / 4
а полупериметр равен:
p = 3a / 2
Таким образом, мы получаем:
r = (a² * √3 / 4) / (3a / 2)
r = a / √3
