Вопрос школьника
Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В пересекают прямую CD в точках М и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть сторона AB параллелограмма равна x, тогда сторона BC равна 2x (так как сторона ВС вдвое больше стороны АВ). Также обозначим стороны AD и DC через y и z соответственно.
Так как AM и BN являются биссектрисами углов А и В, то они делят эти углы на две равные части. Значит, углы CAM и CBN равны между собой, а углы ABM и BAN тоже равны между собой. Обозначим эти углы через α.
Так как AM и BN пересекаются на прямой CD, то углы CMD и CNB тоже равны между собой. Обозначим этот угол через β.
Теперь мы можем использовать теорему синусов для треугольников CAM и CBN:
sin(α) = y / AM = z / BN
sin(α) = y / (2x — AM) = z / (2x — BN)
Сравнивая эти два уравнения, получаем:
y / AM = y / (2x — AM)
z / BN = z / (2x — BN)
Отсюда следует, что AM = BN = 2x / 3.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников AMN и BNM:
AM^2 + MN^2 = AN^2
BN^2 + MN^2 = BM^2
Подставляя AM = BN = 2x / 3 и MN = 12, получаем:
(2x / 3)^2 + 12^2 = (y + z)^2
(4x / 3)^2 + 12^2 = (2x + z)^2
Решая эти уравнения относительно y и z, получаем:
y = (4x — 9√5) / 3
z = (4x + 9√5) / 3
Теперь мы можем найти стороны параллелограмма:
AB = x
BC = 2x
CD = z
DA = y
Ответ: AB = x, BC = 2x, CD = (4x + 9√5) / 3, DA = (4x — 9√5) / 3.
