Вопрос школьника
Сторони АВ і ВС трикутника АВС дорівнюють відповідно
16 см і 22 см, а висота, проведена до сторони АВ, дорівнює
11 см. Обчисліть висоту, проведену до сторони ВС
Ответ от учителя
Для розв’язання задачі використаємо формулу для обчислення площі трикутника за довжинами його сторін та висотою, проведеною до однієї зі сторін:
S = 1/2 * AB * h
де S — площа трикутника, AB — довжина сторони АВ, h — висота, проведена до сторони АВ.
Підставляємо в формулу відомі значення:
S = 1/2 * 16 см * 11 см = 88 см²
Також можна використати формулу для обчислення площі трикутника за довжинами його сторін та радіусом вписаного кола:
S = p * r
де p — півпериметр трикутника, r — радіус вписаного кола.
Півпериметр трикутника можна обчислити за формулою:
p = (AB + AC + BC) / 2
де AC і BC — довжини інших двох сторін трикутника.
Підставляємо в формулу відомі значення:
p = (16 см + 22 см + x) / 2
де x — довжина сторони ВС.
Отримуємо:
p = (38 см + x) / 2
Радіус вписаного кола можна обчислити за формулою:
r = S / p
Підставляємо в формулу відомі значення:
r = 88 см² / [(38 см + x) / 2] = 176 см² / (38 см + x)
Так як висота, проведена до сторони ВС, є бісектрисою кута при вершині С, то вона ділить сторону ВС на дві частини, пропорційні довжинам інших двох сторін трикутника:
BV / VC = AB / AC
Підставляємо в формулу відомі значення:
16 см / x = 22 см / (x — y)
де y — довжина відповідної частини сторони ВС.
Розв’язуємо рівняння відносно y:
16 см * (x — y) = 22 см * x
16 см * x — 16 см * y = 22 см * x
6 см * x = 16 см * y
y = 6/16 * x = 3/8 * x
Отримали відношення довжини відрізка ВС, який ділиться висотою, до довжини сторони ВС.
Тепер можемо записати вираз для довжини сторони ВС через знайдену довжину відрізка, що ділиться висотою:
x = BV + VC = 16 см + 22 см = 38 см
BV = y = 3/8 * x = 3/8 * 38 см = 14,25 см
VC = x — y = 38 см — 14,25 см = 23,75 см
Отже, висота, проведена до сторони ВС, дорівнює 14,25 см.
