Вопрос школьника
Стороны AB, BC и AC треугольника ABC соответственно равны 12 см, 18 см и 15 см. На них соответственно отмечены такие точки F, G и K, что BFG = KGC. Найдите отрезок FK, учитывая, что KG = 8 см и GF =12 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему косинусов. Согласно этой теореме, для любого треугольника с известными длинами сторон a, b и c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо следующее равенство:
a^2 = b^2 + c^2 — 2bc cos(α)
Применим эту теорему к треугольнику BFG. Из условия задачи известны длины сторон BG и GF, а также угол BFG, который равен углу KGC в силу условия BFG = KGC. Для удобства обозначим угол BFG (и KGC) как α. Тогда получим:
BG^2 = BF^2 + GF^2 — 2BF·GF cos(α)
Подставим известные значения:
12^2 = BF^2 + 12^2 — 2BF·12 cos(α)
Разрешим это уравнение относительно cos(α):
cos(α) = (BF^2 + 12^2 — 12^2) / (2BF·12) = BF / 12
Аналогично, применим теорему косинусов к треугольнику KGC:
KC^2 = KG^2 + GC^2 — 2KG·GC cos(α)
Подставим известные значения:
18^2 = 8^2 + GC^2 — 2·8·GC cos(α)
Разрешим это уравнение относительно cos(α):
cos(α) = (8^2 + GC^2 — 18^2) / (2·8·GC) = GC / 16
Теперь заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как стороны 12, 15 и 18 удовлетворяют условию теоремы Пифагора: 12^2 + 15^2 = 18^2. Значит, угол ACB прямой, и его косинус равен нулю:
cos(ACB) = 0
Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
15^2 = 12^2 + 18^2 — 2·12·18 cos(ACB)
Подставим cos(ACB) = 0 и решим это уравнение относительно 12:
12 = sqrt(18^2 — 15^2) = 9
Таким образом, мы нашли длину стороны AB: AB = 9 см.
Теперь рассмотрим треугольник BFK. Мы знаем длины сторон BF, FK и BK (которая равна BG + GK = 12 + 8 = 20 см), а также угол BFK, который равен сумме углов BFG и KGC. Из теоремы косинусов для треугольника BFG мы знаем, что cos(α) = BF / 12. Аналогично, из теоремы косинусов для треугольника KGC мы знаем, что cos(α) = GC / 16. Следовательно, мы можем выразить длину BF через длину GC:
BF = 12 cos(α) = 12·GC / 16 = 3·GC / 4
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику BFK:
20^2 = BF^2 + FK^2 — 2BF·FK cos(BFK)
Подставим известные значения:
20^2 = (3·GC / 4)^2 + FK^2 — 2·(3·GC / 4)·FK cos(BFK)
Учитывая, что BFG = KGC, мы можем записать:
cos(BFK) = cos(BFG + KGC) = cos(BFG)·cos(KGC) — sin(BFG)·sin(KGC) = cos(α)^2 — sin(α)^2
Подставим выражения для cos(α) и sin(α):
cos(BFK) = (3·GC / 4)^2 / 16^2 — (1 — (3·GC / 4)^2 / 16^2) = 1 — 5·GC^2 / 16^2
Теперь можем решить уравнение относительно FK:
FK^2 = 20^2 — (3·GC / 4)^2 + 2·(3·GC / 4)·FK·(1 — 5·GC^2 / 16^2)
FK^2 — 3·GC·FK·5·GC^2 / 16^2 + (20^2 — (3·GC / 4)^2 — 2·(3·GC / 4)·5·GC^2 / 16^2) = 0
Это квадратное уравнение относительно FK, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = (3·GC / 4·5·GC / 16)^2 — (20^2 — (3·GC / 4)^2 — 2·(3·GC / 4)·5·GC^2 / 16^2) = 25·GC^2 / 16 — 20^2 + (3·GC / 4)^2 + 2·(3·GC / 4)·5·GC^2 / 16^2
FK = (3·GC / 4)·5·GC^2 / 16^2 ± sqrt(D)
Подставим известные значения:
FK = (3·8 / 4)·5·8^2 / 16^2 ± sqrt(25·8^2 / 16 — 20^2 + (3·8 / 4)^2 + 2·(3·8 / 4)·5·8^2 / 16^2) = 15 / 8 ± sqrt(25 / 16 — 5 / 4 + 15 / 16) = 15 / 8 ± sqrt(5 / 16)
Таким образом, мы получили два возможных значения для длины отрезка FK: FK = 15 / 8 + sqrt(5 / 16) или FK = 15 / 8 — sqrt(5 / 16). Однако, так как треугольник BFK является остроугольным (угол BFK меньше 90 градусов), то мы должны выбрать меньшее из двух значений:
FK = 15 / 8 — sqrt(5 / 16) ≈ 1.27 см
Ответ: отрезок FK равен примерно 1.27 см.
