Вопрос школьника
Стороны AB и DC трапеции ABCD продлили так, что прямые AB и DC пересеклись в точке E. Таким образом, продолжения сторон трапеции образовали треугольник площадью 98 квадратных сантиметров. Найти площадь трапеции, если ее основания относятся друг к другу как 5 к 7.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, где $a$ — меньшее основание, а $b$ — большее основание. Тогда по условию задачи:
$$frac{a}{b}=frac{5}{7}$$
Выразим $a$ через $b$:
$$a=frac{5}{7}b$$
Также по условию задачи известно, что площадь треугольника, образованного продолжениями сторон трапеции, равна 98 квадратных сантиметров. Обозначим высоту этого треугольника через $h$. Тогда:
$$S_{triangle ABE}+S_{triangle CDE}=frac{1}{2}bh=98$$
$$frac{1}{2}cdot AEcdot BE+frac{1}{2}cdot CEcdot DE=98$$
Так как $AE$ и $CE$ — это продолжения боковых сторон трапеции, то они равны соответственно $b$ и $a$. Также из треугольника $ABE$ можно выразить $BE$ через $a$ и $b$:
$$BE=sqrt{AE^2-AB^2}=sqrt{b^2-a^2}=sqrt{b^2-frac{25}{49}b^2}=frac{6}{7}b$$
Аналогично, из треугольника $CDE$ можно выразить $DE$ через $a$ и $b$:
$$DE=sqrt{CE^2-CD^2}=sqrt{a^2-b^2}=sqrt{frac{25}{49}b^2-b^2}=frac{4}{7}b$$
Подставляем полученные значения в уравнение для площади треугольников:
$$frac{1}{2}cdot bcdot frac{6}{7}b+frac{1}{2}cdot acdot frac{4}{7}b=98$$
$$frac{2}{7}b^2=98$$
$$b^2=frac{7}{2}cdot 98=343$$
$$b=7sqrt{2}$$
Таким образом, $a=frac{5}{7}b=frac{5}{7}cdot 7sqrt{2}=5sqrt{2}$.
Итак, площадь трапеции равна:
$$S=frac{1}{2}(a+b)h=frac{1}{2}cdot (5sqrt{2}+7sqrt{2})h=6sqrt{2}h$$
Осталось найти высоту $h$. Для этого заметим, что треугольник $ABE$ подобен треугольнику $ACD$ (по двум углам), а значит, отношение высот этих треугольников равно отношению соответствующих сторон:
$$frac{h}{b}=frac{h+x}{a}$$
$$frac{h}{7sqrt{2}}=frac{h+frac{4}{7}b}{5sqrt{2}}$$
$$5h=7h+frac{16}{7}b$$
$$h=frac{16}{35}b=frac{16}{35}cdot 7sqrt{2}=frac{32}{5}sqrt{2}$$
Итак, площадь трапеции равна:
$$S=6sqrt{2}cdot frac{32}{5}sqrt{2}=boxed{192}$$
