Вопрос школьника
Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√2, √5 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник ABC не может быть прямоугольным, так как в этом случае было бы невозможно построить подобный ему треугольник KAC с углом KAC больше 90 градусов.
Также заметим, что сторона BC является наименьшей стороной треугольника ABC, а сторона AB является наибольшей. Это означает, что точка K должна находиться на продолжении стороны AB за точкой B.
Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB за точкой B на расстоянии x от точки B. Тогда сторона AK равна √(5+x^2), а сторона KC равна 2√2 — x.
Так как треугольник KAC подобен треугольнику ABC, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть:
AK/AB = KC/BC
√(5+x^2)/√5 = (2√2 — x)/1
Отсюда получаем уравнение:
5 + x^2 = 20 — 8√2x + x^2
8√2x = 15
x = 15/(8√2)
Теперь можем найти стороны треугольника KAC:
AK = √(5+x^2) = √(5+225/128) = √(893/128)
KC = 2√2 — x = 2√2 — 15/(8√2) = (16√2 — 15)/(8√2)
Теперь можем найти косинус угла AKC с помощью теоремы косинусов:
cos(AKC) = (AK^2 + KC^2 — AC^2)/(2AK*KC)
AC = AB + BC = √5 + 1
cos(AKC) = (√(893/128)^2 + ((16√2 — 15)/(8√2))^2 — (√5 + 1)^2)/(2*√(893/128)*((16√2 — 15)/(8√2)))
cos(AKC) = -0.5
Ответ: косинус угла AKC равен -0.5.
