Вопрос школьника
Стороны AO и BO равностороннего треугольника ABO продолжены за точку O на равные друг другу отрезки OC и OD соответственно. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков OA, OD и BC, – равносторонний.
Ответ от учителя
Пусть точка M — середина отрезка OA, точка N — середина отрезка OD, точка P — середина отрезка BC. Так как треугольник ABO — равносторонний, то AM = BM и BN = ON. Также, так как OC = OD, то точки C и D равноудалены от точки O, а значит, BC = CD. Тогда BP = PC и DP = PB.
Рассмотрим треугольник MNP. Так как M и N — середины сторон AO и OD соответственно, то MN || AD и MN = 1/2 AD. Аналогично, NP || BC и NP = 1/2 BC. Так как BC = CD, то NP = 1/2 CD = 1/2 BP. Таким образом, треугольник MNP — равнобедренный, причем MN = NP.
Осталось доказать, что углы треугольника MNP равны 60 градусам. Рассмотрим угол MNP. Так как MN || AD и NP || BC, то угол MNP равен углу A + углу B. Но так как треугольник ABO — равносторонний, то угол A = углу B = 60 градусов. Таким образом, угол MNP = 120 градусов. Аналогично, можно доказать, что углы MPN и NPM также равны 60 градусам.
Таким образом, треугольник MNP — равносторонний, так как у него равны две стороны и три угла по 60 градусов.
