Вопрос школьника
Стороны АВ и ВС выпуклого четырехугольника ABCD равны и взаимно перпендикулярны. Вычислите длину диагонали АС, если известно, что угол BAD= 105°, угол BCD = 135° и AD = 8 см.
Ответ от учителя
Поскольку стороны АВ и ВС равны и перпендикулярны, то четырехугольник ABCD является ромбом. Также, поскольку угол BAD = 105°, то угол BCD = 180° — 105° = 75°.
Рассмотрим треугольник ABD. Он является прямоугольным, поскольку стороны АВ и ВД перпендикулярны. Также, угол BAD = 105°, поэтому угол ABD = (180° — 105°)/2 = 37.5°.
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины диагонали АС. Рассмотрим треугольник АВС.
Мы знаем, что стороны АВ и ВС равны, поэтому мы можем обозначить их через а. Также, мы знаем, что угол BAC = 75° (поскольку угол BCD = 75°).
Тогда, применяя теорему косинусов к треугольнику АВС, мы получаем:
а^2 + а^2 — 2а*а*cos(75°) = AC^2
Упрощая это выражение, мы получаем:
2а^2 — 2а^2*cos(75°) = AC^2
Теперь нам нужно вычислить cos(75°). Мы можем использовать формулу cos(2α) = 1 — 2sin^2(α) для нахождения cos(75°):
cos(75°) = cos(2*37.5°) = 1 — 2sin^2(37.5°)
Мы можем вычислить sin(37.5°) с помощью формулы половинного угла:
sin(37.5°) = sqrt((1 — cos(75°))/2)
Подставляя это значение в выражение для AC^2, мы получаем:
2а^2 — 2а^2*cos(75°) = AC^2
2а^2 — 2а^2*(1 — 2sin^2(37.5°)) = AC^2
2а^2*(2sin^2(37.5°)) = AC^2
Теперь мы можем подставить значение а = AD/2 = 4 см (поскольку AD = 8 см) и вычислить длину диагонали АС:
AC = sqrt(2)*a*sin(37.5°) = sqrt(2)*4*sqrt((1 — cos(75°))/2) = 4*sqrt(2 — sqrt(3)) ≈ 5.66 см.
Таким образом, длина диагонали АС равна примерно 5.66 см.
