Вопрос школьника
Стороны четырёхугольника ABCD касаются одной окружности. (Точки касания — на сторонах четырёхугольника.) Докажите, что АВ + CD = ВС + DA.
Ответ от учителя
Пусть точки касания окружности с сторонами четырехугольника обозначены как E, F, G и H, соответственно. Тогда мы можем нарисовать следующую диаграмму:
«`
A——E——B
| |
H F
| |
D——G——C
«`
Заметим, что каждая из сторон четырехугольника является хордой окружности, а точки E, F, G и H являются серединами этих хорд. Также заметим, что каждый из треугольников AEB, BFC, CDG и DHA является прямоугольным, так как каждый из них имеет две стороны, касающиеся окружности, и следовательно, их гипотенузы перпендикулярны к этим сторонам.
Теперь рассмотрим отрезки AB и CD. Они являются диаметрами окружности, так как они проходят через центр окружности (который является точкой пересечения диагоналей четырехугольника). Следовательно, мы можем записать:
AB = 2 * AE
CD = 2 * CG
Также заметим, что отрезки BC и AD являются высотами треугольников BFC и DHA соответственно, а отрезки EF и GH являются их медианами. Следовательно, мы можем записать:
BC = 2 * EF
AD = 2 * GH
Теперь мы можем объединить эти уравнения, чтобы получить:
AB + CD = 2 * AE + 2 * CG
BC + AD = 2 * EF + 2 * GH
Заметим, что AE + CG = EF + GH, так как они являются радиусами окружности, и следовательно, мы можем записать:
AB + CD = 2 * (AE + CG) = 2 * (EF + GH) = BC + AD
Таким образом, мы доказали, что AB + CD = BC + AD, что и требовалось доказать.
