Вопрос школьника
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды имеют длины 2 см и 6 см. Вычислите объем пирамиды, если каждый двугранный угол при ребре большего основания равен 60°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно знать формулу объема правильной треугольной усеченной пирамиды:
V = (1/3) * h * (S1 + S2 + sqrt(S1 * S2))
где V — объем пирамиды, h — высота пирамиды, S1 и S2 — площади оснований, sqrt — квадратный корень.
Для начала найдем высоту пирамиды. Рассмотрим правильный треугольник, образованный высотой пирамиды, биссектрисой угла при меньшем основании и половиной ребра большего основания:
[](https://i.imgur.com/5JZJZJN.png)
В этом треугольнике угол при вершине равен 60°, а два других угла равны 30°. Так как треугольник равносторонний, то его высота равна:
h = (2/3) * a
где a — длина ребра большего основания. Подставляя a = 6 см, получаем:
h = (2/3) * 6 см = 4 см
Теперь найдем площади оснований. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:
S = (a^2 * sqrt(3))/4
где a — длина стороны треугольника. Подставляя a = 2 см и a = 6 см, получаем:
S1 = (2^2 * sqrt(3))/4 = sqrt(3) см^2
S2 = (6^2 * sqrt(3))/4 = 9sqrt(3) см^2
Теперь можем найти объем пирамиды, подставляя найденные значения в формулу:
V = (1/3) * 4 см * (sqrt(3) см^2 + 9sqrt(3) см^2 + sqrt(sqrt(3) см^2 * 9sqrt(3) см^2))
V = (1/3) * 4 см * (10sqrt(3) см^2)
V = (4/3) * 10sqrt(3) см^3
V ≈ 20,8 см^3
Ответ: объем пирамиды равен примерно 20,8 см^3.
