Вопрос школьника
Стороны прямоугольника равны 11 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей.
Ответ от учителя
Для начала, нарисуем прямоугольник и обозначим его стороны:
«`
11 см
+———-+
| |
| | 4 см
| |
+———-+
«`
Теперь обозначим точки, в которых биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, пересекают противоположную сторону:
«`
11 см
+———-+
| A |
| | 4 см
| B |
+———-+
| C |
«`
Заметим, что точка $B$ является серединой отрезка $AC$, так как биссектриса угла делит противоположную сторону на две равные части. Также заметим, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как биссектриса угла делит прямой угол на два равных угла.
Пусть $x$ — длина отрезка $BC$, тогда длина отрезка $AB$ также равна $x$, так как точка $B$ является серединой отрезка $AC$. Также заметим, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $ABD$, где $D$ — точка на большей стороне прямоугольника, также делящая ее на три равные части:
«`
11 см
+———-+
| A |
| | 4 см
| B |
+———-+
| D1 | x |D2|
«`
Таким образом, отрезок $BD$ также делится на три равные части, и его длина равна $4/3$ см. Также заметим, что треугольник $ABD$ подобен треугольнику $ABC$, так как они имеют два равных угла. Таким образом, отношение длин сторон треугольников $ABD$ и $ABC$ равно отношению длин сторон $BD$ и $BC$:
$$frac{AB}{AC} = frac{BD}{BC}$$
$$frac{x}{4} = frac{4/3}{x}$$
Решая эту пропорцию, получаем:
$$x^2 = frac{16}{3}$$
$$x = frac{4sqrt{3}}{3} approx 2.31 text{ см}$$
Таким образом, отрезок $BC$ делится на три равные части длиной $frac{4sqrt{3}}{9} approx 0.77$ см каждая. Ответ: $frac{4sqrt{3}}{9}$ см.
