Вопрос школьника
Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей.
Ответ от учителя
Для начала нарисуем прямоугольник и обозначим его стороны:
«`
4 см
+———-+
| |
| | 5 см
| |
+———-+
«`
Теперь нарисуем биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне:
«`
4 см
+———-+
| |
| | 5 см
| |
+———-+
«`
Обозначим точки, в которых биссектрисы пересекают противоположную сторону, как $A$ и $B$:
«`
4 см
+———-+
| |
| | 5 см
| A B|
+———-+
«`
Так как биссектрисы делят углы на две равные части, то угол между биссектрисами и большой стороной равен $45^circ$. Также заметим, что треугольник $ABD$ (где $D$ — вершина прямоугольника) является прямоугольным, так как угол $ADB$ равен $90^circ$ (угол между биссектрисой и стороной прямоугольника).
Теперь нам нужно найти длины отрезков $AD$, $DB$ и $AB$. Обозначим длину отрезка $AD$ как $x$. Тогда длина отрезка $DB$ также равна $x$, так как треугольник $ABD$ является равнобедренным. Длина отрезка $AB$ равна $5 — 2x$, так как отрезки $AD$ и $DB$ в сумме дают $5$.
Теперь нам нужно найти значение $x$. Заметим, что треугольник $ABD$ подобен треугольнику $ABC$ (где $C$ — вершина прямоугольника), так как углы $ABD$ и $ABC$ равны (они соответственные углы при параллельных прямых). Также заметим, что отношение сторон треугольников $ABD$ и $ABC$ равно отношению отрезков $AD$ и $AC$ (они соответственные стороны). Таким образом, мы можем записать:
$$frac{AD}{AC} = frac{AB}{BC}$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$frac{x}{4} = frac{5 — 2x}{3}$$
Решая уравнение, получаем:
$$x = frac{10}{7} text{ см}$$
Таким образом, длины отрезков $AD$, $DB$ и $AB$ равны:
$$AD = DB = frac{10}{7} text{ см}$$
$$AB = 5 — 2 cdot frac{10}{7} = frac{15}{7} text{ см}$$
Ответ: длины отрезков, на которые биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону прямоугольника, равны $frac{10}{7}$ см, $frac{10}{7}$ см и $frac{15}{7}$ см соответственно.
