Вопрос школьника
Стороны пятиугольника равны 5, 6, 7, 8 и 9 в порядке обхода и касаются одной окружности. На какие отрезки точка касания со стороной длины 5 делит эту сторону?
Ответ от учителя
Пусть точка касания окружности со стороной длины 5 делит эту сторону на отрезки $x$ и $5-x$. Тогда по теореме о касательной к окружности, проведенной из точки касания, получаем систему уравнений:
$$begin{cases} x+y=6 \ x+z=9 \ y+w=8 \ z+v=7 \ w+v=5 end{cases}$$
где $y,z,w,v$ — длины отрезков, на которые точка касания делит оставшиеся стороны пятиугольника.
Выразим $y$ и $z$ через $x$:
$$begin{cases} y=6-x \ z=9-x \ w+v=5 end{cases}$$
Подставим эти выражения в оставшиеся уравнения системы:
$$begin{cases} x+(6-x)=6 \ x+(9-x)=7 \ (6-x)+w=8 \ (9-x)+v=7 \ w+v=5 end{cases}$$
Решая эту систему, получаем $x=3$, $y=3$, $z=6$, $w=2$, $v=3$. Таким образом, точка касания делит сторону длины 5 на отрезки длины 3 и 2.
