Вопрос школьника
Стороны пятиугольника равны (в порядке обхода) 7, 10, 12, 8 и 9. В вершинах пятиугольника расположены центры пяти окружностей, причём любые две соседние окружности касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус наименьшей окружности.
Ответ от учителя
Пусть $r_1, r_2, r_3, r_4, r_5$ — радиусы окружностей, соответствующих вершинам пятиугольника. Тогда, по условию, каждая из этих окружностей касается двух соседних, а значит, существует вписанная окружность пятиугольника, касающаяся всех пяти окружностей. Пусть её радиус равен $r$. Тогда, по теореме о вписанной окружности, её радиус равен:
$$r = frac{2S}{P},$$
где $S$ — площадь пятиугольника, а $P$ — его периметр. Площадь пятиугольника можно найти по формуле Герона:
$$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$$
где $a,b,c,d,e$ — стороны пятиугольника, а $p = frac{a+b+c+d+e}{2}$ — полупериметр. Подставляя значения сторон, получаем:
$$p = frac{7+10+12+8+9}{2} = 23,$$
$$S = sqrt{23(23-7)(23-10)(23-12)(23-8)} approx 103.68.$$
Периметр пятиугольника равен $P = 7+10+12+8+9 = 46$. Подставляя значения $S$ и $P$ в формулу для радиуса вписанной окружности, получаем:
$$r = frac{2 cdot 103.68}{46} approx 4.56.$$
Таким образом, радиус наименьшей окружности равен примерно $4.56$.
