Вопрос школьника
Стороны треугольника равны 39 см, 65 см и 80 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что окружность, касающаяся сторон треугольника, имеет радиус, равный радиусу вписанной окружности треугольника. Также нам понадобится знание о том, что центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Итак, пусть большая сторона треугольника равна 80 см. Тогда центр окружности, касающейся этой стороны, лежит на биссектрисе угла, образованного этой стороной и двумя другими сторонами треугольника. Обозначим эту биссектрису через $AD$, где $D$ — точка касания окружности с меньшей стороной треугольника.
Так как окружность касается сторон треугольника, то радиус этой окружности равен расстоянию от центра окружности до каждой из сторон треугольника. Обозначим этот радиус через $r$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABD$, где $AB=39$ см, $AD=r$ и $BD=80-r$ см. Этот треугольник является прямоугольным, так как угол $ABD$ является прямым (так как $BD$ — это касательная к окружности, а $AD$ — радиус, проведенный к точке касания). По теореме Пифагора имеем:
$$AB^2+AD^2=BD^2$$
$$(39)^2+(r)^2=(80-r)^2$$
Решая это уравнение относительно $r$, получаем:
$$r=frac{39cdot 80}{2cdot 80-39}=24$$
Таким образом, центр окружности делит большую сторону треугольника на два отрезка: $24$ см и $80-24=56$ см. Ответ: центр окружности делит большую сторону треугольника на отрезки длиной 24 см и 56 см.
